或許在我們生活的宇宙中，歐幾裏得的定理是錯誤的，但偏差小到用我們最好的測量工具也是肯定測量不到的。有沒有可能知曉我們是否真的生活在一個歐氏幾何為真的世界裏呢？大多數研究過早期非歐幾何學的數學家似乎對這個問題不太關心。對他們來說，這一切不過是與現實無關的抽象數學。
要解開第五公設的謎團，我們只需問自己一個問題：【幾何原本】的幾何形狀和圓盤的幾何形狀是否可以區分開來？在和一個出身未明的幾何學家討論時，是否可能知道他所說的是歐幾裏得的幾何，還是貝爾特拉米的幾何？是否可能對他提出一個根據不同情況答案也會有所不同的問題？
因此，讓我們深吸一口氣，從【幾何原本】中選擇一些結論，然後提出問題。一個兩千年的懸念即將被揭曉。
好的，我們就以正方形為例。歐幾裏得的幾何學裏有正方形，但飛行員的幾何學裏卻沒有。那在貝爾特拉米的幾何世界裏呢？是否存在四條邊相等且有四個直角的圖形呢？
你瞧，他們拿出直尺和角尺開始畫圖形。可惜呀，他們的每一次嘗試都以失敗告終。畫出來的圖形要麽缺一個直角，要麽有一條邊和其他邊不相等，總是在某個地方卡殼（圖 4.25）。又試了幾次之後，他們不得不面對事實：圓盤中不存在正方形。因此，也不存在誤解。因此我們的問題就有了答案。
之所以沒有正方形，是因為無法僅憑前四個公設來證明正方形的存在。第五公設必不可少。史上最著名的數學問題就這樣產生了。歐幾裏得的幾何學需要它的五個公設，不能沒有最後一個公設。
請你花點兒時間回顧一下這段論述，細細品味它的力量和精妙之處。你是否意識到，簡單的角度轉變就能讓一個兩千多年懸而未決的問題重現生機？為了解決這個問題，只需創造一個想象的世界，這個世界裏的幾何學家給「直線」這個詞賦予的含義與我們的不同。除此以外，沒有特別之處。不過是角度的問題。這種證明堪稱巧妙、新穎和大膽的巧技。它是人類思想的奇跡。
劇情就這樣落幕了，如此突然，幾乎令人失望。這聽起來美好得讓人難以置信。第五公設在身後留下了一塊空白，一種不安全的感覺。 面對這一證明，最難的不是理解它，而是品味它全部的精妙，懂得如何去品味，用構成這一證明的寥寥數語實作簡潔明了、摧枯拉朽的優雅。
第五公設的證明並非這些因習慣而受到侵蝕的想法。隨著時間的流逝，這些想法日漸完善。每當我們回顧這些想法時，它們就會煥發出新的光彩。我對它們從未有過厭倦之情，每當我的思緒停留在它們身上時，我都會激動不已。
就這樣，我們的大難題解決了。但既然我們已經走到了這一步，那就讓我們再多走一段如何？貝爾特拉米和龐加萊圓盤的幾何絕對堪稱奇妙，而如果把對它的探索僅僅局限在正方形上，那就太可惜了。
一方面，【幾何原本】中的很多結論在圓盤的幾何中並不成立。用正方形來解釋，那麽一些經典的定理，比如泰勒斯或畢達哥拉斯的定理，也會被遺忘。但另一方面，很多在歐幾裏得的幾何中無法成立的東西會成為可能。很多新的定理出現了，還有新的圖形出現了。
比如直角正五邊形。這是一些具有五條相等的邊和五個直角的圖形。在歐氏幾何中，正五邊形的內角一定是 108°。在圓盤幾何中卻存在直角五邊形，我們甚至可以把這些五邊形堆砌起來，也就是用並置的五邊形把表面覆蓋起來。在廚房和浴室裏，我們經常會使用方形瓷磚。而圓盤上的居民則可以使用五邊形瓷磚。
通常說來，圓盤上的貼磚工可以提供的產品種類要遠遠多於人類貼磚工可以提供的產品種類。圖 4.26 中展示的是圓盤上的貼磚工產品目錄中的一些產品。有正五邊形瓷磚，也有內角為 60° 的四邊形瓷磚，還有內角為 120° 的七邊形瓷磚，以及在歐氏幾何中不可能存在的很多組合圖形。
看著這些瓷磚鑲貼，我們會覺得並非所有瓷磚的形狀都一樣，但這只是地圖扭曲的效果。在你看到的每一個例子中，所有的瓷磚在圓盤居民的眼中都具有相同的大小和形狀。
我們越是深入探究貝爾特拉米和龐加萊世界的運轉機制，就越會意識到第五公設的缺席給了我們怎樣的自由。貝爾特拉米和龐加萊的幾何比我們的幾何要靈活得多，也豐富得多。瓷磚鑲貼的例子令人印象深刻。歐氏幾何中只存在三種完全規則的瓷磚：正方形、等邊三角形和正六邊形（圖 4.27）。相反，圓盤中的規則圖形則是無限的！
僅第五公設就能闡明圓盤幾何。在歐氏幾何只有一條平行線的情況中，圓盤幾何則有無數條平行線。我們還可以給出圓盤幾何中三角形多樣性遠遠勝過歐氏幾何中的例子。對於歐幾裏得而言，所有三角的角度之和都等於 180°。對於貝爾特拉米而言，這個角度之和總是小於 180°，但有可能發生變化。三角形有很多，其角度之和可以是從 0°到 180° 的任意值。簡而言之，在各個方面，圓盤幾何都要靈活得多，且提供了歐氏幾何無法提供的眾多可能性。
但是，仔細想想，我們剛才看到的不同的非歐幾何圖形，無論是飛行員的圖形還是貝爾特拉米的圖形，都仍然帶有某些歐氏幾何的痕跡。在小範圍內，我們幾乎看不到其中的差異。換句話說，如果你只畫很小的幾何圖形，那麽【幾何原本】中的定理就會成立。
我們再次以球面幾何為例。我們的星球是彎曲的，但作為人類，我們對此幾乎察覺不到。在我們的日常生活中，地球就像平地一樣。只有飛行了數千千米的飛行員才有可能察覺到曲率對他們的幾何產生的影響。只要你經過的距離夠短，差異就是不可見的。在球面幾何中，既沒有正方形，也沒有長方形，因此從理論上來說，國際足球聯合會比賽規則第一條所規定的足球場就是不存在的。地球上不可能存在有四個直角的足球場。但是，就這種足球場的規模而言，偏差已經小到無法察覺。
貝爾特拉米和龐加萊圓盤也是如此。當我們把圓盤看作一個整體時，上面的直線在我們眼中就會清晰地顯現為曲線。但如果把圓盤放到足夠大，曲率就會越來越小（圖 4.28）。而且我們越是看小的事物，圓盤居民的感知和我們的感知之間的差異就會越模糊。例如，我們有可能畫出和正方形幾乎一模一樣的圖形。這些圖形的角度不是恰好90°，而是 89.9°。
因此，如果圓盤幾何學家的測量工具不夠精確，他們就很可能會產生身處歐氏幾何世界的錯覺。他們所在空間的曲率在他們的尺度上可能無法被察覺。他們會言之鑿鑿地告訴你，在他們的世界裏，正方形是存在的，因此第五公設是成立的。
這種思考令人眩暈。怎樣才能讓它不會反轉並與我們對立呢？現在讓我們回到「直線」這個詞的本義上。它的本義不是飛行員所理解的意思，也不是貝爾特拉米所理解的意思，它真正的意思，是我們所理解的意思。你能確定這些直線驗證了歐幾裏得的公設嗎？
想象一下，我們真實的宇宙等同於貝爾特拉米和龐加萊圓盤的三維版本。它是一個巨大的球，在這個球裏，所有靠近其邊緣的物體都會縮小，因此，這個球對其居民而言似乎是無限的。歐氏幾何在這個球上就是無法成立的。直線在那裏就會是曲線。但是，我們這些被困在浩瀚宇宙中一粒藍色塵埃上的微小生物對此是無法感知到的。在我們的尺度上，我們將無法察覺到這些被我們稱為「直線」的巨大線條的曲率。
或許在我們生活的宇宙中，歐幾裏得的定理是錯誤的，但偏差小到用我們最好的測量工具也是肯定測量不到的。有沒有可能知曉我們是否真的生活在一個歐氏幾何為真的世界裏呢？
大多數研究過早期非歐幾何學的數學家似乎對這個問題不太關心。對他們來說，這一切不過是與現實無關的抽象數學。解決了第五公設，並創造出這些奇妙的世界，這種成就感就足以讓他們感到幸福了。
接下來必須要說的是，當時的他們沒有太多懷疑的理由。行之有效的牛頓理論是以歐氏幾何為基礎的。規模再大的天文測量也從未發現過歐幾裏得、牛頓和現實之間存在分歧的跡象。 簡而言之，沒有第五公設的幾何學美不勝收，但它們只是數學的抽象。 對於大部份 19 世紀的科學家來說，我們的宇宙毫無疑問是歐幾裏得式的宇宙。
後來，在 1905 年，德國物理學期刊【物理年鑒】（Annalen der Physik）刊登了一篇長達 30 頁、名為【論動體的電動力學】（「Zur Elektrodynamik bewegter Körper」）的文章。這篇論文永遠地改變了我們對宇宙、空間和時間的看法。它的作者是一位當時年僅 26 歲的年輕物理學家，名叫艾伯特·愛因史坦。他提出了一種理論：相對論。
上文轉自圖靈新知，節選自【數學的雨傘下】，【遇見數學】已獲轉發授權。
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