去年7月的時候，圖靈上市了【數學的雨傘下：理解世界的樂趣】，這本書是 法國巴黎高等師範學院機率學博士米卡埃爾·洛奈的著作，全書沒有用一個公式，卻講清楚了數學思維到底是什麽。
讀者盛贊這是一本普通人都能感受數學之美的好書！
而更最意外的收獲是發現數學也可以如此浪漫！摘錄如下：
>> 就像重力理論所說的：「萬物落在萬物之上，一刻不停。」相對論現在也可以說：「萬物以光速前進，一刻不停。」
>> 世界上最遠的距離，是我在視界裏邊，你在視界外邊。
>> 山巒不是錐體，樹木不是球體，河流不是直線。在現實中，一切都是被切割的、剁碎的、撕裂的、細碎的、揉皺的、凹凸不平的。粗糙才是常態，平滑只是例外。
>> 智人們，昂首挺胸吧，我們理解了重力！
【數學的雨傘下：理解世界的樂趣】
作者：[法] 米卡埃爾洛奈（Mickaël Launay）
譯者：歐瑜
19 世紀末 20 世紀初，碎形風靡一時。當然了，那個時候碎形還不 叫碎形，因為直到 1974 年，曼德博才發明了「碎形」這個詞，但繼佩亞諾之後，科學家們都從各自的鋸齒狀小圖形入手，探究其不知是「線」還是「面」的無限細碎的細節（圖 3.31）。
比如瑞典數學家海爾格·馮·科赫（Helge von Koch）和他的雪花，德國數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert）和他與佩亞諾曲線極為相似的曲線，還有日本數學家高木貞治（Teiji Takagi）和他的「牛奶凍曲線」。康托爾則發明了三分集——一組點集，但人們並不清楚這一點集是零維還是一維的。其他人還發現了一些不知道是面還是體的圖形，比如美籍奧地利數學家卡爾·門格（Karl Menger）和他的門格海綿。
圖 3.31
這一時期最著名的圖形之一，是波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基（Wacław Sierpiński）在 1915 年設想出的一個圖形。這個圖形是一個等邊三角形，裏面篩分成無數個越來越小的三角形。
謝爾賓斯基三角形的驚人之處在於，它可以透過兩條不同的路徑被構造出來：一條路徑是透過一維，另一條路徑是透過二維。第一條路徑是從三角形的周長入手，添加越來越多的線。第二條路徑是從三角形的面入手，一點一點地將其挖空（圖 3.32）。
圖 3.32
雖然這兩條路徑處在不同的維度中，但它們的終點是相同的！經過無數個步驟之後，兩條路徑都構造出了謝爾賓斯基三角形。因此，這個圖形在維度上具有絕對的模糊性。謝爾賓斯基三角形是一維的還是二維的？它是透過第一條路徑堆積起來的線變成了面，還是透過第二條路徑被挖空的面變成了線？
為了回答這兩個問題，是時候拿出我們的全新定義了：維度，是倍增系數的對數。換句話說，我們應該問問自己，至少需要多少個謝爾賓斯基三角形才能拼成更大的謝爾賓斯基三角形？如果答案是兩個，那麽我們就知道它是線。如果答案是四個，那麽它就是面。
問題是，答案是三個（圖 3.33）。
圖 3.33
這是個出乎意料的結果！想要得到一個更大的謝爾賓斯基三角形，你至少需要三個小謝爾賓斯基三角形。如果檢視一下對數表，我們就會發現自己面對的是一種左手線、右手面的情況。
這聽起來讓人難以置信，但唯一可能的結論就是，謝爾賓斯基三角形處於一維和二維之間。這是一個小數！構成謝爾賓斯基三角形的微小三角形堆疊得太過整齊、密實，這個圖形不只是線，但這些小三角又沒有密實到變成一個真正的面。謝爾賓斯基三角形在某個地方卡在了兩者之間，就好像在從一個維度向另一個維度遷移的過程中，懸浮在了空中。它既不是線，也不是面。它是另類。
為了找出謝爾賓斯基三角形確切的值，你只需要翻看納皮爾的對數表，找到 3 對應的那個對數。我們在對數表中找到了這個近似值：1.585（圖 3.34）。
圖 3.34
因此，我們的答案是：謝爾賓斯基三角形是一個 1.585 維的圖形。
揭曉這般謎底，需要我們放下很多東西。不用擔心，你需要時間去習慣。事實上，小數維度的存在如此怪異且令人困惑，甚至讓人想奮起反抗。這聽起來很荒謬，荒謬到就像用小數給一本書編頁碼一樣……盡管如此，相信邏輯推理而非自己的直覺需要一定的勇氣。如果你對這個結果仍心懷疑慮，那也是正常的，甚至是合理的。在寫下這些話的時候，距離我第一次了解到碎形維度已經過去了將近二十年，而我可以毫不慚愧地說，我至今仍未從最初的驚訝中完全回過神來。
但我們必須相信數學。研究者知曉並研究小數維度，至今已有數十年，而且沒有出現過錯誤。這些維度的存在和一致性已經在很多情境中得到了廣泛驗證。維度具有一整個連續統，而這個連續統中的每一個維度都可以構造出圖形（圖 3.35）。
在幾年的時間裏，碎形維度就像理論上的奇珍異寶一樣躺在數學家的抽屜裏，沒有實際的用途。直到本華·曼德博得知了路易士·弗萊·理查森關於邊境長度之研究的那一天，情況才發生了轉變。於是，曼德博想到這一切有可能比表面看來更加具體。
圖 3.35
曼德博進行了嘗試，並決定將維度理論套用在一種和英國海岸線同形的線條上。他拿出對數表，進行計算。得嘞！英國的海岸線是 1.25 維。
就像佩亞諾曲線，這些線條的扭曲程度如此之大，以至於不能再被視為是一種普通的線。它們就像謝爾賓斯基三角形，還沒有迂回纏繞成一個面，而是介於兩者之間。對這些線，我們無法像對長度那樣以米（m1）來測量，也無法像對面積那樣以平方米（m2）來測量，而是應該根據 1.25 維圖形的特定量度單位來測量：「1.25 次方米」（m1.25）。
照此，借助理查森收集的數據，維度理論就可以讓我們透過計算得出：英國西海岸線約為 4600 km1.25。西班牙 - 葡萄牙國界線的彎曲程度較小，但其維度仍等於 1.14，我們可以用同樣的方式算得這條國界線的長度約為 1250 km1.14。
面對這樣的度量單位，這些結果在我們的經驗看來是非常抽象的。但這是結束這場爭論的最確切的方式，至少在那些鐘情於數學極高準確性的人看來，是最確切的終結方式。在現實中，地理學家會繼續樂於以千米為單位去測量海岸線並得到近似值。這並不十分要緊，碎形的機制現在已經啟動，其套用將成倍增加。
而就在幾年前，數學界還把碎形當成和現實沒有任何關系的理論物件，但本華·曼德博的觀點卻與這一立場完全相反：對他來說，與現實脫節的是歐幾裏得的幾何學。 山巒不是錐體，樹木不是球體，河流不是直線。在現實中，一切都是被切割的、剁碎的、撕裂的、細碎的、揉皺的、凹凸不平的。粗糙才是常態，平滑只是例外。 就連地球也不是溜圓的，而是布滿了高低起伏的峽谷和山峰。大自然是碎形的！這就是曼德博的主張。
看看周圍的這個世界，你肯定會找到很多例子，比如植物，蕨類、樹木、葉片或某些花朵的形狀。花菜滿是細節的表面是 2.33 維的。表面更為粗糙的青花菜則是 2.66 維的。而在你自己的身體裏，如果把血管的所有細小分支首尾相連，那麽最終的長度將在 100 000 和 200 000 千米之間——足以繞地球好幾圈，你堪稱狄多的繼承人了。同樣，在你的肺部，空氣和血液之間的肺部接觸「面」密實到幾乎具有了容積，它的維度約為 2.97。
1982 年，曼德博出了一本書，名叫【大自然的碎形幾何學】（The Fractal Geometry of Nature）。他在書中給出了很多例子，有數學的，也有物理的。碎形的世界絢麗、復雜而又豐富。它既在理論上引人入勝，又在實踐中用途甚廣。曼德博丟擲了一個名副其實的現象，一大批數學家追隨他的腳步進入這一全新的探索領域。
直到今天，仍有很多前沿研究在繼續這一領域的探索。碎形不僅本身得到研究，而且還滲透到數學和科學的其他很多領域。
但碎形研究最令人驚訝的地方處或許是，直到 20 世紀，科學才開始真正關註這些在我們的世界中無處不在的形狀。就像本福特定律，碎形在數個世紀中一直就在我們祖先的眼前，但他們似乎沒有看到碎形。擡起眼來吧，看看周圍的這個世界，然後思考一下這個問題：你正在觀察的事物中還有多少有待發現？這個世界上還有什麽未曾被人了解的事情等待我們去了解，只因為沒人想到要去了解它們？我們眼前還有什麽引人入勝卻未受關註的事物？
有時候，顯而易見之事就在細節之中。
作者：[法] 米卡埃爾洛奈（Mickaël Launay）
譯者：歐瑜
驚訝！是思考的起點；
數學，是理解世界本質與萬物關聯的工具！
以數學為起點，以思考為快樂！
法國數學學會「達朗貝爾獎」得主科普名作。
數學，是理解世界本質與萬物關聯的工具，它能制造兩個指南針：一個叫「實用」，一個叫「優雅」。不懂得數學的意義，就無法真正學習和理解數學。
科學家為什麽那麽聰明？因為他們有非凡的思考方法。
以數學為工具，以思考為快樂；培養自己的思考力、觀察力，成為真正的思考者。
文章來源：圖靈編輯部
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